16乗で巡回拡大と累巡回拡大をもう一度考える

巡回拡大体で足踏みしてます

書籍Iでは、次は180乗根の解析なのですが、その過程で「巡回拡大体」についての理解が足りないと思い、16乗根に戻ってきました。

書籍Iには、

𝕂が𝔽のガロア拡大体で,Gal(𝕂/𝔽)が巡回群の時,𝕂は𝔽の巡回拡大体である,𝕂は𝔽の巡回拡大であるいいます。

とあります。

一つの拡大で巡回群にならないときには何段かのステップに分けて、それぞれの拡大が巡回拡大になるようにするというのが、この辺の力点で、累巡回拡大といっています。

もう一度書籍Iの問6.17の説明を読む

ζを1の原始16乗根として、Gal(ℚ(ζ)/ℚ) を考えます。位数はオイラー関数から8です。

書籍Iではσ(ζ)=ζ⁵と定めて<σ>がGal(ℚ(ζ)/ℚ)の部分群となることを示します。

ガロア群の元に名前をつけたいので、σ_i(ζ)=ζⁱ とします。そうすると、このσはσ₅です。

ζはこれにより、

ζ⇨ζ5⇨ζ9⇨ζ13⇨ζ 

と変換され巡回します。

したがって

<σ5>={σ5,σ9,σ13,e}

となります。これはGal(ℚ(ζ)/ℚ)の部分群です。

次に<σ₅>の固定体𝔽を考えます。

σ₅(ζ⁴)=ζ⁴になることから、𝔽はζ⁴(=i)を含みます。

位数の考察から𝔽=ℚ(ζ⁴)です。

Gal(ℚ(ζ)/ℚ)  ⊃  <σ5>  ⊃  {e}
    ℚ         ⊂   𝔽    ⊂  ℚ(ζ)

書籍Iでは、𝔽=ℚ(ζ⁴)=ℚ(i)とわかった時点で、Gal(ℚ(i)/ℚ)の元には言及がないのですが、τ(i)=-iとなる変換で巡回することは明らかですから、それでいいのでしょう。

x¹⁶-1=0 の作る拡大体の#ℚ(ζ⁴)を中間体とする累巡回拡大の結論に書いたように、累巡回拡大は <σ₅>または<σ₁₃> のどちらかと、<σ₇>または<σ₁₅>のどちらかを組み合わせて作れます。書籍Iを改めて読むと、<σ₅>、<σ₁₅> の組み合わせを考えているようなので、これを例に包含関係を考えていきます。

体の包含関係

ℚ(ζ)で付け加わる元として書いてあるのは、ζから派生するけど、ℚ(ζ⁴)の元にならないものです。

ℚ(ζ⁴)で付け加わる元として書いてあるのは、ζ⁴(=i)から派生するけど、ℚの元にならないものです。

ガロア群の包含関係

まず、それぞれの元を列挙します。

これを包含関係に書くと、書籍Iでは

Gal(ℚ(ζ)/ℚ)  ⊃  <σ5>  ⊃  {e}
    ℚ         ⊂   𝔽    ⊂  ℚ(ζ)

と書いていますが、等値なもので置き換えて

Gal(ℚ(ζ)/ℚ)  ⊃  Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ4))  ⊃  {e}
    ℚ         ⊂      ℚ(ζ4)         ⊂  ℚ(ζ)

とできます。ということは、{e} は Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ)) なのでしょう。ℚ(ζ)を固定してℚ(ζ)に作用するのはeしかありませんから、整合性はとれています。

これを踏まえて、包含図を作ると以下のようになります。包含関係が適切に表されていますが、σ₁₅があそこにあるのが意外です。

<σ₅>は出てきますが、<σ₁₅>は出てきません。

Gal(ℚ(ζ⁴)/ℚ)もこの図には出てきません。どうやらこの図では累巡回拡大としう部分が表現されないようです。

累巡回拡大の表現

各ステップごとの拡大を記述する必要があります。

さて、各ステップの元から全体の元(ガロア群の元なので変換になりますが)を導出するには、各ステップの元を組み合わせて作用させます。つまり掛け算です。ζの累乗同士の掛け算なのでここでは順番を問いません。

巡回群の生成元の選択肢

「累巡回拡大は <σ₅>または<σ₁₃> のどちらかと、<σ₇>または<σ₁₅>のどちらかを組み合わせて作れます。」というのを蒸し返してみます。

Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ⁴))の元は{σ₅,σ₉,σ₁₃,e}です。<σ₅>と<σ₁₃>は同じ元の逆巡回であることが改めて納得できます。

<σ₁₅>はζの虚数部のiを-iに換える変換です。一般にζⁱは単位円上の回転になりますが、15はちょうどx軸を対称軸とする線対称に変換します。ちょっと意外ですがうまく行っています。

<σ₇>は別のやり方を提供します。変換表を再掲しておきます。

固定体

固定する元と、その数を調べました。今後の加筆のためです。