前提条件を繰り返しておきます。
x16-1=0 の解は ζ = cos(360˚/16)+isin(360˚/16) として、1,ζ,ζ2,ζ3,…,ζ15の16個です。
ζのℚ上の最小多項式は16次の円分多項式、Φ16(x)=O で、その根は ζ,ζ3,ζ5,ζ7,ζ9,…,ζ15 と2の倍数を除いたもので8個です。
ガロア群Gal(ℚ(ζ)/ℚ)の元は、ℚ(ζ)のζiを別のζjに対応付ける写像のうち、1の原始16乗根に移すものになります。
その元を、
σi(ζ)=ζi (i=1,3,5,7,…,15)
とします。σ1は恒等変換です。
ℚ(ζ)/ℚの拡大次数8、ガロア群Gal(ℚ(ζ)/ℚ)の位数も8です。
前にσ5の作用を図示しました。
これをプログラムで作成できるように、次のように書き換えてみます。上下の対応を確認してください。
表の各セルを各ζiに対応させて、その指数だけを書くことにします。
最後の1行がℚ(ζ4), あるいはℚの範囲です。
上部3行はℚ(ζ)ですが、偶数乗は奇数乗と異なる変換のされ方をするので分けてあります。
こうしておくと固定される部分の ℚ(ζ4)/ℚの自己同型写像を縦に書くことができます。
この変換は ℚ(ζ4) の範囲だけでいいような気もしますが、ℚ(ζ) 全体でもうまく回ってるので表示しています。
この表を作成したプログラムは、「mod 16」で紹介しています。タイトルやメニューはまだ仮です。
まず、<σ5>と<σ7>で考えます。
Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ4)) = <σ5> = {e, σ5, σ9, σ13} Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) = <σ7> = {e,σ7}
σ5を複数回作用させると4回目にもとに戻ります。
2回作用させるとσ9、3回作用させるとσ13、4回作用させるとσ1=e と同等であることもわかります。
1 | 3 | 5 | 7 |
9 | 11 | 13 | 15 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
σ5
⇨
5 | 15 | 9 | 3 |
13 | 7 | 1 | 11 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
σ5
⇨
9 | 11 | 13 | 15 |
1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
σ5
⇨
13 | 7 | 1 | 11 |
5 | 15 | 9 | 3 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
σ5
⇨
1 | 3 | 5 | 7 |
9 | 11 | 13 | 15 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
⇩ σ7 を作用させると、固定体であった部分が変換されます。
そこから σ5を複数回作用させると別の経路で巡回し、4回目にもとに戻ります。
7 | 5 | 3 | 1 |
15 | 13 | 11 | 9 |
14 | 10 | 6 | 2 |
12 | 4 | 8 |
σ5
⇨
3 | 9 | 15 | 5 |
11 | 1 | 7 | 13 |
6 | 2 | 14 | 10 |
12 | 4 | 8 |
σ5
⇨
15 | 13 | 11 | 9 |
7 | 5 | 3 | 1 |
14 | 10 | 6 | 2 |
12 | 4 | 8 |
σ5
⇨
11 | 1 | 7 | 13 |
3 | 9 | 15 | 5 |
6 | 2 | 14 | 10 |
12 | 4 | 8 |
σ5
⇨
7 | 5 | 3 | 1 |
15 | 13 | 11 | 9 |
14 | 10 | 6 | 2 |
12 | 4 | 8 |
⇩ σ7 さらに作用させると、もとに戻ります。
1 | 3 | 5 | 7 |
9 | 11 | 13 | 15 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
これで、σi(ζ)=ζi (i=1,3,5,7,…,15) の写像の全部が出現しています(表の1-1のセルでわかります)。
巡回のイメージをつかむために、このように見てください。第一層(上の層)では1-5-9-13しか回りませんが、σ7によって1が第二層に降りると7-3-11-15と回って全部の写像が出てきます。1-7だけでなく、5-3など上下に並んでいるものはどれもσ7で相互に変換されます。
2つ目、<σ5>と<σ15>で考えます。
Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ4)) = <σ5> = {e, σ5, σ9, σ13} Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) = <σ15> = {e,σ15}
1 | 3 | 5 | 7 |
9 | 11 | 13 | 15 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
σ5
⇨
5 | 15 | 9 | 3 |
13 | 7 | 1 | 11 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
σ5
⇨
9 | 11 | 13 | 15 |
1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
σ5
⇨
13 | 7 | 1 | 11 |
5 | 15 | 9 | 3 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
σ5
⇨
1 | 3 | 5 | 7 |
9 | 11 | 13 | 15 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
⇩ σ15 を作用させると、固定体であった部分が変換されます。
そこから σ5を複数回作用させると別の経路で巡回し、4回目にもとに戻ります。
15 | 13 | 11 | 9 |
7 | 5 | 3 | 1 |
14 | 10 | 6 | 2 |
12 | 4 | 8 |
σ5
⇨
11 | 1 | 7 | 13 |
3 | 9 | 15 | 5 |
6 | 2 | 14 | 10 |
12 | 4 | 8 |
σ5
⇨
7 | 5 | 3 | 1 |
15 | 13 | 11 | 9 |
14 | 10 | 6 | 2 |
12 | 4 | 8 |
σ5
⇨
3 | 9 | 15 | 5 |
11 | 1 | 7 | 13 |
6 | 2 | 14 | 10 |
12 | 4 | 8 |
σ5
⇨
15 | 13 | 11 | 9 |
7 | 5 | 3 | 1 |
14 | 10 | 6 | 2 |
12 | 4 | 8 |
σ15 をさらに作用させると、もとに戻ります。
3つ目、<σ13>と<σ7>で考えます。
Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ4)) = <σ13> = {e, σ13, σ9, σ5} Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) = <σ7> = {e,σ7}
1 | 3 | 5 | 7 |
9 | 11 | 13 | 15 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
σ13
⇨
13 | 7 | 1 | 11 |
5 | 15 | 9 | 3 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
σ13
⇨
9 | 11 | 13 | 15 |
1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
σ13
⇨
5 | 15 | 9 | 3 |
13 | 7 | 1 | 11 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
σ13
⇨
1 | 3 | 5 | 7 |
9 | 11 | 13 | 15 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
⇩ σ7 を作用させると、固定体であった部分が変換されます。
そこから σ13を複数回作用させると別の経路で巡回し、4回目にもとに戻ります。
7 | 5 | 3 | 1 |
15 | 13 | 11 | 9 |
14 | 10 | 6 | 2 |
12 | 4 | 8 |
σ13
⇨
11 | 1 | 7 | 13 |
3 | 9 | 15 | 5 |
6 | 2 | 14 | 10 |
12 | 4 | 8 |
σ13
⇨
15 | 13 | 11 | 9 |
7 | 5 | 3 | 1 |
14 | 10 | 6 | 2 |
12 | 4 | 8 |
σ13
⇨
3 | 9 | 15 | 5 |
11 | 1 | 7 | 13 |
6 | 2 | 14 | 10 |
12 | 4 | 8 |
σ13
⇨
7 | 5 | 3 | 1 |
15 | 13 | 11 | 9 |
14 | 10 | 6 | 2 |
12 | 4 | 8 |
σ7 をさらに作用させると、もとに戻ります。
4つ目、<σ13>と<σ15>で考えます。
Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ4)) = <σ13> = {e, σ13, σ9, σ5} Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) = <σ15> = {e,σ15}
1 | 3 | 5 | 7 |
9 | 11 | 13 | 15 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
σ13
⇨
13 | 7 | 1 | 11 |
5 | 15 | 9 | 3 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
σ13
⇨
9 | 11 | 13 | 15 |
1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
σ13
⇨
5 | 15 | 9 | 3 |
13 | 7 | 1 | 11 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
σ13
⇨
1 | 3 | 5 | 7 |
9 | 11 | 13 | 15 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
⇩ σ15 を作用させると、固定体であった部分が変換されます。
そこから σ13を複数回作用させると別の経路で巡回し、4回目にもとに戻ります。
15 | 13 | 11 | 9 |
7 | 5 | 3 | 1 |
14 | 10 | 6 | 2 |
12 | 4 | 8 |
σ13
⇨
3 | 9 | 15 | 5 |
11 | 1 | 7 | 13 |
6 | 2 | 14 | 10 |
12 | 4 | 8 |
σ13
⇨
7 | 5 | 3 | 1 |
15 | 13 | 11 | 9 |
14 | 10 | 6 | 2 |
12 | 4 | 8 |
σ13
⇨
11 | 1 | 7 | 13 |
3 | 9 | 15 | 5 |
6 | 2 | 14 | 10 |
12 | 4 | 8 |
σ13
⇨
15 | 13 | 11 | 9 |
7 | 5 | 3 | 1 |
14 | 10 | 6 | 2 |
12 | 4 | 8 |
σ15 をさらに作用させると、もとに戻ります。
4つ目、<σ13>と<σ15>で考えます。
Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ4)) は、<σ5> または <σ13>。 この2つは位数4で逆回り。
Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) は、<σ7> または <σ15>。 この2つは位数2で、ℚ(ζ4)に対する効果は同等。
これはうまく行っているのか自信はありません。
σ9がζの偶数乗を固定することから、試してみます。
3段階になります。2段階に比べてℚ(ζ2)の部分が増えています。
Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ2)) は、<σ9> で位数2の巡回をします。
1 | 3 | 5 | 7 |
9 | 11 | 13 | 15 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
σ9
⇨
9 | 11 | 13 | 15 |
1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
σ9
⇨
1 | 3 | 5 | 7 |
9 | 11 | 13 | 15 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
⇩ σ5 を作用させると、固定体であった部分が変換されます。
そこから σ9を作用させると、ℚ(ζ2)の外側は、別の経路で巡回し、2回目にもとに戻ります。
5 | 15 | 9 | 3 |
13 | 7 | 1 | 11 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
σ9
⇨
13 | 7 | 1 | 11 |
5 | 15 | 9 | 3 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
σ9
⇨
5 | 15 | 9 | 3 |
13 | 7 | 1 | 11 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
⇩ σ5 をさらに作用させると、ℚ(ζ2)の部分がもとに戻ります。ところが、ℚ(ζ2)の外側はもとには戻らず先に進みます。上のℚ(ζ4)/ℚの時にはこの部分ももとに戻りました。
9 | 11 | 13 | 15 |
1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
σ9
⇨
1 | 3 | 5 | 7 |
9 | 11 | 13 | 15 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
σ9
⇨
9 | 11 | 13 | 15 |
1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
⇩ σ5 をさらに作用させると、ℚ(ζ2)の部分は2回目の巡回を始めます。ℚ(ζ2)の外側はさらに進んで行きますが、これが巡回の最後です。つまりℚ(ζ2)の外側は位数4で巡回します。
13 | 7 | 1 | 11 |
5 | 15 | 9 | 3 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
σ9
⇨
5 | 15 | 9 | 3 |
13 | 7 | 1 | 11 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
σ9
⇨
13 | 7 | 1 | 11 |
5 | 15 | 9 | 3 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
⇩ σ5 をさらに作用させると、ℚ(ζ2)の外側の部分ももとに戻りますが、全体を眺めるとσ9を施した列と合わせて2度づつ同じものが出てきてしまいます。
Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) は、<σ3> で位数2の巡回をします。
1 | 3 | 5 | 7 |
9 | 11 | 13 | 15 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
σ9
⇨
9 | 11 | 13 | 15 |
1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 6 | 10 | 14 |
4 | 12 | 8 |
⇩ σ5
5 | 15 | 9 | 3 |
13 | 7 | 1 | 11 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
σ9
⇨
13 | 7 | 1 | 11 |
5 | 15 | 9 | 3 |
10 | 14 | 2 | 6 |
4 | 12 | 8 |
⇩ σ3
3 | 9 | 15 | 5 |
11 | 1 | 7 | 13 |
6 | 2 | 14 | 10 |
12 | 4 | 8 |
σ9
⇨
11 | 1 | 7 | 13 |
3 | 9 | 15 | 5 |
6 | 2 | 14 | 10 |
12 | 4 | 8 |
⇩ σ5
15 | 13 | 11 | 9 |
7 | 5 | 3 | 1 |
14 | 10 | 6 | 2 |
12 | 4 | 8 |
σ9
⇨
7 | 5 | 3 | 1 |
15 | 13 | 11 | 9 |
14 | 10 | 6 | 2 |
12 | 4 | 8 |
上の立体図に似ていますが、σ9とσ5の部分が、上の立体図に相当します。