1の16乗根が作る拡大体

ℚ(ζ)/ℚとその拡大次数

x16-1=0 の解は ζ = cos(360˚/16)+isin(360˚/16) として、1,ζ,ζ23,…,ζ15の16個です。

ℚ(ζ) の拡大次数を調べるために、ζのℚ上の最小多項式を求めます。

16次の円分多項式、Φ16(x)=O は、1の原始16乗根だけが解になる式です。

根は ζ,ζ3579,…,ζ15 と2の倍数を除いたもので8個です。φ(16)=23(2-1)=8 でも確認できます。

Φ16(x)=O の最小分解体も ℚ(ζ) です。

ℚ(ζ)/ℚの自己同型写像

ℚ(ζ)のζiを別のζjに対応付ける写像のうち、1の原始16乗根に移すものだけを考えます。

具体的に計算してみます。ここでも、

σi(ζ)=ζi (i=1,3,5,7,…,15)

とします。σ1は恒等変換です。

同時に、5乗根の時と同様に、同型写像の条件を満たすようにζ1以外の移り先の組み合わせも確認します。

ζi の移り先
σ1σ3σ5σ7σ9σ11σ13σ15
ζ113579111315
ζ2261014261014
ζ339155111713
ζ4412412412412
ζ551593137111
ζ6621410621410
ζ775311513119
ζ888888888
ζ991113151357
ζ10101426101426
ζ1111171339155
ζ12124124124124
ζ1313711151593
ζ14141062141062
ζ1515131197531

σの添字が偶数になる変換は有理数になってしまうものがあるので、同型写像になりません。

巡回群になっているか

さらに 自己同型写像 σ1 〜 σ15 が巡回群になっているかを調べます。より正確に書くと、どれを生成元とすれば巡回群になるかということです。

結論から言うと、全体を巡回する生成元はありません

σ3 σ5 σ11 σ13 は位数4で、その他は位数2で巡回します。以下で見ていきます。

σ3を生成元とする巡回群

まずはσ3を繰り返し作用させた表です。

巡回するかの確認 (σ3のみ)
σi ζk σiσi2σi3σi4
σ3139111
5151375
26262
4124124
1014101410
88888

ζkは初期値です。k=1から始めると、4回で1に戻ります。1からの巡回で出てこない5を初期値にすると別の値をとってやはり4回で戻ります。さらに出てこない2,4,10を初期値にすると、それぞれ別の経路で2回で戻ります。8で始めると変化しません。

2の倍数乗はσとしては出てきませんが、ζの2の倍数乗はℚ(ζ)には含まれますので、適切に移されなければなりません。2回で別の偶数乗に移されうまく行っています。8乗が変化しないのもζ8=-1で有理数だから適切です。

σ5を生成元とする巡回群

σ3 の他に σ5 も同様です。書籍Iのテキストでは、これを採用しています。累巡回拡大を作っています。

巡回の確認 (σ5のみ)
σi ζk σiσi2σi3σi4
σ5159131
3151173
2102102
6146146
44444
88888
1212121212

やはり、4回で1に戻ります。1からの巡回で出てこない3を初期値にすると別の値をとってやはり4回で戻ります。さらに出てこない2,6を初期値にすると、それぞれ別の経路で2回で戻ります。4,8,12で始めると変化しません。

その他4回で巡回するもの

σ11 は σ3 に、σ13 は σ5 に似ています。

巡回するかの確認 (σ1113)
σi ζk σiσi2σi3σi4
σ11111931
5713155
26262
4124124
1014101410
88888
σ13113951
3711153
2102102
44444
88888
1212121212

2回で巡回するもの

σ7915 が最大2回で巡回します。変化しないものも混ざっています。

σ7 は σ15 に似ています。σ9は偶数を固定しています。

巡回の確認 (σ7915)
σi ζk σiσi2
σ7171
353
9159
111311
2142
4124
6106
888
σ9191
3113
5135
7157
222
444
666
888
101010
121212
141414
σ151151
3133
5115
797
979
2142
4124
6106
888

σ5から累巡回拡大を考える

書籍Iのテキストに従い、σ5を最初に考えます。

σ5の巡回を再掲します。

巡回の確認 (σ5のみ)
σi ζk σiσi2σi3σi4
σ5159131
3151173
2102102
6146146
44444
88888
1212121212

1 5 9 13 1 はζの累乗指数であると同時に、σの添字でもあります。

51, σ52, σ53, σ54=e} = {σ5, σ9, σ13, e} = <σ5> はGal(ℚ(ζ)/ℚ)の部分群になります。

5> に対応する固定体は、巡回の確認表から、ℚ(ζ4812) = ℚ(ζ4) とわかります。

つまり、Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ4)) = <σ5> = {σ5, σ9, σ13, e} です。

ℚ(ζ)/ℚ(ζ^4)の自己同型写像を図示

σ5, σ9, σ13 の作用を図示します。

ℚ(ζ)のζi (i=1,2,3,…,15) を入れ替えながら、ℚ(ζ4)を固定体にすることがわかります。

ℚ(ζ^4)/ℚ

次に、Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) を考えます。ζ4を、ζ4812 のどれかに移す写像です。

σi(ζ)=ζi (i=1,3,5,7,…,15)から探します。既に出てきた i=5,9,13 は当然不変にします。残る 3,7,11,15 はどれも同じ所に移します。

σj4)=ζ12
σj8)=ζ8
σj12)=ζ4  (j=3,7,11,15)

ζ4は虚数単位 i ですから、[ℚ(ζ4):ℚ] = 2 です。

巡回する様子を確認します。

巡回の確認 (σ3のみ)
σi ζk σiσi2σi3σi4
σ34124124
88888
12412412

k=3,7,11,15 のうちどれをとっても、この範囲では同じです。

8は不変です。これはζ8が-1と有理数だからです。したがって、ζ4とζ12が交換する以外に動かしようがありません。変換は恒等写像とあわせて2つだけということになります。

ちなみに、σjsがなにに変化しているのかを見てみます。これはζ1の変換先でわかります。

写像の変換の確認
σj ζk σjσj2σj3σj4
σ3139111
σ11111931
σ717171
σ151151151

[ℚ(ζ4):ℚ] = 2 のことを考えると、位数2で巡回している7,15の方が都合が良さそうです。

ℚ(ζ4)への写像としては同等ですから、3,11でもいいのかもしれませんが、とりあえず、最初の7をとって、おきます。

Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) = <σ7> = {e,σ7}

とできるでしょう。7×7=49=16×3+1=1 (mod16)です

ℚ(ζ^4)/ℚの自己同型写像を図示

ζ8は-1なので有理数の中にいます。実は、ζ4 = i 、ζ12 = -i です。

σ7は、 ζ = cos(360˚/16)+isin(360˚/16) として σ7(ζ)=ζ7 と定義されたものです。ℚ(ζ4)の中ではσ3も、σ11も、σ15も同じ写像になります。

ℚ(ζ^4)を中間体とする累巡回拡大の吟味

Gal(ℚ(ζ)/ℚ)={σ1=e,σ3579111315} です。

Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ4)) = {e,σ5913} は巡回群になります。

Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) = {e,σ7} も巡回群です。

ℚ(ζ)/ℚ は、累巡回拡大ということができます。

{e,σ7}と{e,σ5913}を組み合わせて、Gal(ℚ(ζ)/ℚ)の全部の元が出てくることを示すことができます。

σの添字は掛け算をして mod 16 します。

7>と<σ5>の組み合わせ
eσ5σ9σ13
eeσ5σ9σ13
σ7σ7σ3σ15σ11

σ15を採用しても同じです。

15>と<σ5>の組み合わせ
eσ5σ9σ13
eeσ5σ9σ13
σ15σ15σ11σ7σ3

σ715ではなく、σ311を採用しても同じになりますが、<σ3>と書くと巡回するのに4つの元を廻るので、気分が晴れません。

それは <σ3>が{e,σ3}ではなく、{e,σ3911}だからです。

ただ、ζ4等への作用は、eとσ9で同じ、σ3とσ11で同じ、<σ5>の組み合わせで出てくる写像も顔ぶれは同じです。

3>と<σ5>の組み合わせ
eσ5σ9σ13
eeσ5σ9σ13
σ3σ3σ15σ11σ7
σ9σ9σ13σ1σ5
σ11σ11σ7σ3σ15

11>も似たようなものです。

11>と<σ5>の組み合わせ
eσ5σ9σ13
eeσ5σ9σ13
σ11σ11σ7σ3σ15
σ9σ9σ13σ1σ5
σ3σ3σ15σ11σ7

σ5以外の選択肢はあるか

σ5から累巡回拡大を考えるでは書籍Iのテキストで採用されていたσ5からはじめて累巡回拡大を考えました。他にやりかたはないのでしょうか。

σ5で巡回の確認をした時にζ4、ζ12が変化していないことから、固定体を導き出せました。同様なことが、他の元からできないかを見てみます。

σ3とσ11も位数4で巡回しますが、ζ8以外に変化しないものがありません。

σ13はσ5と逆順で巡回し、ζ4、ζ12が変化しません。

σ9はζのすべての偶数乗を固定します。

候補は、13と9です。

σ13から累巡回拡大を考える

σ5同様に、ℚ(ζ4)を固定体にします。

次は ζ4を、ζ4812 のどれかに移す写像を探します。

やはり、σi(ζ)=ζi (i=1,3,5,7,…,15)から探します。既に出てきた i=13,9,5 は当然不変にします。残る 3,7,11,15 はどれも同じ所に移します。

あとは、σ5 の時と同様になります。

結論として、σ13 から考えると

Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ4)) = {e,σ1395} =<σ13>は巡回群になります。

Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) = {e,σ7} =<σ7>も巡回群です。

ℚ(ζ)/ℚ は、累巡回拡大ということができます。

巡回の順序が異なるだけで、群としては同じものになります。

ℚ(ζ^4)を中間体とする累巡回拡大の結論

Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ4)) = <σ5> = {e, σ5, σ9, σ13}
Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) = <σ7> = {e,σ7}

生成元は次の様にしても同等です。

Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ4)) = <σ5> = {e, σ5, σ9, σ13}
Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) = <σ15> = {e,σ15}
Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ4)) = <σ13> = {e, σ13, σ9, σ5}
Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) = <σ7> = {e,σ7}
Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ4)) = <σ13> = {e, σ13, σ9, σ5}
Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) = <σ15> = {e,σ15}

σ9から累巡回拡大を考える

σ9の巡回を再掲します

巡回の確認 (σ9のみ)
σi ζk σiσi2
σ9191
3113
5135
7157
222
444
666
888
101010
121212
141414

σ9は偶数乗を固定します。書籍Iのテキストの定義5.8のガロア拡大の定義では、

𝕂を𝔽の拡大体とし,ℂに含まれているものとする。𝕂に作用する𝔽の元を不変にする同型写像が, すべて自己同型写像になるとき, 「𝕂は𝔽のガロア拡大体である」, 「𝕂/𝔽はガロア拡大である」と表す。このときの自己同型群を𝕂の𝔽上のガロア群といい、Gal(𝕂/𝔽)で表す。

です。

この定義だと、「𝔽の元を不変にする同型写像」をすべて数え上げることができるか、確信が持てませんが、今回の話の流れでは、ℚ(ζ)における自己同型写像σiのうち、上記のようにζの偶数乗を固定するのはσ9だけです。そして固定される群はℚ(ζ2)とわかります。

σ9(ζ) = ζ9
σ92(ζ) = σ99) = (σ9(ζ))9 = ζ81 = ζ1 (mod 16)

なので、σ92 = e ですから、巡回群になります。

Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ2)) = <σ9> = {e,σ9} です。

σ9からの2つめはℚ(ζ^2)/ℚ

固定体はℚ(ζ2)なので、Gal(ℚ(ζ2)/ℚ) を考えることになります。

ζ2を、ζ2,…,ζ14 のどれかに移す写像です。

やはり、σi(ζ)=ζi (i=1,3,5,7,…,15)から探します。i=1 と既に出てきた i=9 は当然不変で、移すことはありませんから除外です。

下の表はまとめて確認しているので無駄な部分も有ります。

ほとんど位数2で巡回してしまいますが4まで計算しています。

巡回ででてこなかったζjがσiによって、どこに移るかを調べ尽くしています。たとえば σ3でいうと、2,6しか出てきませんから、4の移り先を調べ、10からの写り先を調べています。全部の偶数乗が出てきたら終わりです。8は-1で有理数なので除外しています。

巡回の確認 (σ3,5,7,11,13,15)
σi ζk σiσi2 σi3σi4
σ326262
4124124
1014101410
σ52102102
44444
6146146
1212121212
σ72142142
4124124
6106106
σ1126262
4124124
1014101410
σ132102102
44444
6146146
1212121212
σ152142142
4124124
6106106

結局、位数4の巡回はありません。巡回してζ2が、ζ2,…,ζ14 に移る群が作れないことを意味します。

σ5とσ13は固定される元が有ります。ζ412です。それを除いて、巡回してζ2が、ζ261014に移るだけでもいいので少し期待が持てます。

σ5とσ13は、偶数の変換はまったく同じです。(ζ2)8=1 からσの添え字は mod 8 で同じになっている様子です。

ℚ(ζ2)の中でζ412を固定するのはσ5だけです(σ13は同じものです)。

σ52) = ζ10
σ522) = σ552)) = σ510) = (σ5(ζ))10 = (ζ5)10 = ζ50 = ζ2 (mod 16)

なので、ℚ(ζ2)の世界では、σ52 = e になり、巡回群になります。

ℚ(ζ)の世界では、σ52 = σ9 でしたから、ちょっと混乱します。これが正しいとすると、

Gal(ℚ(ζ2)/ℚ(ζ4)) = <σ5> = {e,σ5} です。

σ9からの3つめはℚ(ζ^4)/ℚ

ℚ(ζ2)/ℚのはずが、ℚ(ζ2)/ℚ(ζ4)となってしまったので、ℚ(ζ4)/ℚ です。

ζ4を、ζ412 のどちらかに移す写像です。

上の表で、σ3, σ7, σ11, σ15 がこれに当たります。添字を mod 4 で見れば同一なのでしょう。

σ34) = ζ12
σ324) = σ334)) = σ312) = (σ3(ζ))12 = (ζ3)12 = ζ36 = ζ4 (mod 16)

なので、ℚ(ζ4)の世界では、σ32 = e になり、巡回群になります。

これもℚ(ζ)の世界では、σ32 = σ9 でしたから、ちょっと混乱します。これが正しいとすると、

Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) = <σ3> = {e,σ3} です。

ℚ(ζ^2),ℚ(ζ^4)を中間体とする累巡回拡大の結論

ℚ(ζ)/ℚ は、このシナリオでも累巡回拡大ということができるのではないでしょうか。

Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ2)) = <σ9> = {e,σ9}
Gal(ℚ(ζ2)/ℚ(ζ4)) = <σ5> = {e,σ5}
Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) = <σ3> = {e,σ3}

このページでは一貫して、

ζ = cos(360˚/16)+isin(360˚/16)
σi(ζ)=ζi (i=1,3,5,7,…,15)

と定義されたものです。

ただし、ℚ(ζ2)の中にはζという元はありません。ですから、例えば、σ5(ζ)=ζ5 という定義はℚ(ζ2)の中ではできないのですが、σ5(ζ)=ζ5 という定義は σ52)=ζ10 と同じですから、問題ありません。

σ9 は代わりがありませんが、σ5はσ13でも構いません。σ3はσ7, σ11, σ15 のどれかに代えてもかまいません。

9 - (5 or 13) - (3 or 7 or 11 or 15)

の組み合わせとなります。

もう一度変換の巡回を確認

もう一度σixがどの変換と同等になり、どのように巡回するのか、またどの元を固定するのかを確認して表にします。

巡回の再確認 (σ3,5,7,11,13,15)
σi σiσi2 σi3σi4固定する元
σ339111固定なし
σ559131ζ412を固定
σ771固定なし
σ991ζ2,…,ζ14を固定
σ1111931固定なし
σ1313951ζ412を固定
σ15151固定なし

σ5からの考察では、<σ5>あるいは<σ13>と<σ7>あるいは<σ15>の組み合わせです。位数4で固定された元が2つある5あるいは13と、位数2で固定のない7あるいは15という組み合わせです。

σ9からの考察では、<σ9>と<σ5>あるいは<σ13>そして、<σ3>あるいは<σ7>あるいは<σ11>あるいは<σ15>の組み合わせです。位数2で固定された元が6つある9と、位数4で固定された元が2つあるものと、位数2または4で固定のないものとの組み合わせです。

固定される元があるかどうかは大いに手がかりとなりましたが、位数と固定の数はℚ(ζ)内で数えているので説得力はありません。

ℚ(ζ)/ℚのガロア群

Gal(ℚ(ζ)/ℚ)={σ1=e,σ3579111315} と8個の元からなります。

σ5からの考察で行き着いた

Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ4)) = <σ5> = {e, σ5, σ9, σ13}
Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) = <σ7> = {e,σ7}

から、この8個の元が過不足なく出てくることを示します。

5>と<σ7>の組み合わせ
e σ5 σ9 σ13
e e σ5 σ9 σ13
σ7 σ7 σ3 σ15 σ11

計算は、σ5とσ7ならば 5×7=35≡3 (mod 16)などとなります。

σ9からの考察で行き着いたのは

Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ2)) = <σ9> = {e,σ9}
Gal(ℚ(ζ2)/ℚ(ζ4)) = <σ5> = {e,σ5}
Gal(ℚ(ζ4)/ℚ) = <σ3> = {e,σ3}

今度は3つの組み合わせなので、表の書き方を変えます。

σ9とσ5とσ3の組み合わせ
1 2 3 合成
e e e e
σ3 σ3
σ5 e σ5
σ3 σ15
σ9 e e σ9
σ3 σ11
σ5 e σ13
σ3 σ7

計算は、σ9とσ5とσ3ならば 9×5×3=135≡7 (mod 16)などとなります。

9 - (5 or 13) - (3 or 7 or 11 or 15) でしたから、9-13-7 も試してみます。

σ9とσ13とσ7では
1 2 3 合成
e e e e
σ7 σ7
σ13 e σ13
σ7 σ11
σ9 e e σ9
σ7 σ15
σ13 e σ5
σ7 σ3