1の180乗根...の他の累巡回拡大を探す

1の180乗根...を累巡回拡大で表すでは書籍Iに従って、中間体としてℚ(ζ⁵)とℚ(ζ⁴⁵)を考えました。では他拡大体で中間体として累巡回拡大を考えることができるでしょうか。

です。これはσ₇が、ζ³⁰ ζ⁶⁰ ζ⁹⁰ ζ¹²⁰ ζ¹⁵⁰ を固定する(自分自身に写像する)ことを言っています。

これを逆に、ζ³⁰ から始まる30ごとの元(その数5個)を固定する変換が、σ₇ など6個あるとまとめたものが下表です。

この数をクリックすると、σ^数を生成元としたときの巡回群が下部の表に入って、上の表の相当する数字の背景色が変わります。

先頭	生成元の選択									追加固定要素	全体を巡回するか	m	φ(m)	φ(n)/φ(m)
ζ²-89	91	.	.	.	.	.	.	.	.	.	○2で巡回	90	30	-
ζ³-59	61	121	.	.	.	.	.	.	.	.	○3で巡回	60	20	-
ζ⁵-35	37	73	109	.	.	.	.	.	.	.	○37,73は、4で巡回	36	12	48/12=4
ζ⁶-29	31	151	.	.	.	.	.	.	.	+ζ²+ζ³	○6で巡回	30	8	48/8=6
ζ⁹-19	41	101	161	.	.	.	.	.	.	ζ³	○41,101は、6で巡回	20	8	48/8=6
ζ¹⁰-17	19	127	163	.	.	.	.	.	.	+ζ²+ζ⁵	✗4や2で巡回	18	6	48/6=8
ζ¹⁵-11	13	49	97	133	157	169	.	.	.	+ζ³+ζ⁵	○13,97,133,157は、12で巡回	12	4	48/4=12
ζ¹⁸-9	11	71	131	.	.	.	.	.	.	+ζ²+ζ³+ζ⁶+ζ⁹	○11,131は、6で巡回	10	4	48/4=12
ζ³⁰-5	7	43	67	79	103	139	.	.	.	+ζ²+ζ³+ζ⁵+ζ⁶+ζ¹⁰+ζ¹⁵	✗12や6で巡回	6	2	48/2=24
ζ⁴⁵-3	17	29	53	77	89	113	137	149	173	+ζ³+ζ⁵+ζ⁹+ζ¹⁵	✗12〜2で巡回	4	2	48/2=24
ζ⁹⁰-1	23	47	59	83	107	119	143	167	179	+all	✗12〜2で巡回	2	1	48/1=48

ℚ(ζ)/ℚ(ζ³⁰) を考えてみましょう。この拡大体のガロア群の元はζ³⁰を固定します。(ζ³⁰を固定すると当然ζ⁶⁰,ζ⁹⁰,...)も固定されます) 面倒なことに、ζ²を固定するものもζ³⁰を固定しますから、これも元になります。それが[追加固定要素]欄の+ζ²です。

ℚ(ζ)に作用するℚ(ζ³⁰)の元を不変にする同型写像が、すべて自己同型写像になるとき、この自己同型写像群がガロア群です。

これが今は巡回することを確認します。7の欄をクリックすると、<σ₇>が表示され、相当する欄の背景色が変わります。これで固定する元全部を巡回していれば一番外側の拡大体の巡回する自己同型写像群の候補が見つかったということになります。[全体を巡回するか]の欄で軽く評価しています。クリックの結果と比較して確認してみてください。

では、自己同型写像群の位数がどれだけかということですが、すでに経験のあるℚ(ζ)/ℚ(ζ⁵)では4でした。これはℚ(ζ)/ℚが48で、ℚ(ζ⁵)/ℚが12だったことから、48÷12=4ということだとわかります。ℚを元にした拡大次数はφ(m)で出せますから、48/φ(m)で計算した値を表に加えておきました。

見つかった最初の巡回群

巡回群の組み合わせ

固定するζの指数を選択すると対応する写像の一覧がでます。中のひとつを生成元に選択すると、生成される写像が一覧になります。固定する指数と生成元の組を3つまで選択できます。

ℚ(ζ)/ℚ

固定するζの指数

23569101518304590clear

生成元の選択 σ_i

................................................

写像 σ_i^s

................................................

ℚ(ζ)/ℚ

固定するζの指数

23569101518304590clear

生成元の選択 σ_j

................................................

写像 σ_j^t

................................................

ℚ(ζ)/ℚ

固定するζの指数

23569101518304590clear

生成元の選択 σ_k

................................................

写像 σ_k^u

................................................

3つの写像を掛け合わせて合成される写像。合成される写像の数は .

1	7	11	13	17	19	23	29
31	37	41	43	47	49	53	59
61	67	71	73	77	79	83	89
91	97	101	103	107	109	113	119
121	127	131	133	137	139	143	149
151	157	161	163	167	169	173	179

3つの写像の計算(σ_i^s×σ_j^t×σ_k^u 添字をmod180で見る)で出てきた元(添字だけ表示)の背景色が緑色になり、合成される写像の数が示されます。48個全部に緑色がついて、数が48になると成功です。

背景色がつかない写像がある場合は、合成される写像の数が48であっても、ℚ(ζ)/ℚの拡大で存在するはずの自己同型写像が全部出てこないということです。

全部色がついても紫色になる場合は、合成される写像の数が48より多くなっているはずで、同じ変換が複数出てきたということになります。

説明と考察

ℚ(ζ)/ℚの表示が、固定するζの指数を選択すると変化します。たとえば一番上で5を選択するとℚ(ζ)/ℚ(ζ⁵)となります。次に2段目で45を選択すると、ℚ(ζ⁵)/ℚ(ζ⁴⁵)となるように、当初は考えていたのですが、計算ででてくるものはもともとℚ(ζ)/ℚ(ζ⁴⁵)で考えたものであって、ℚ(ζ⁵)/ℚ(ζ⁴⁵)ではありません。

逆に最初に45を選択して、2段目で5を選択しても、その解釈は面倒になりますが、積は同じものになってしまいます。σの積は順序によりませんし、体の拡大も拡大の順序によりません。

ℚにζ⁴⁵を加えてから、ζ⁵を加えるのは意味がありますが、逆にζ⁵のあとにζ⁴⁵を加えるのは意味がありません。ζ⁴⁵は(ζ⁵)⁵で表現できるからですが、にもかかわらず最終的にできるものがℚ(ζ⁵)という点では同じだ、という所に手がかりがあるのかもしれません。

ということで、このプログラムではガロア拡大の表示は、全部ℚ(ζ)/ℚ(ζⁿ)というようにしました。

clearすると、ℚ(ζ)/ℚに戻り、生成元の選択にはℚ(ζ)/ℚの全部の自己同型写像が表示されます。この写像のどれかから始めて全部が巡回群としてでてくれば、2段階目以降が必要ないわけです。そうなるように設計されています。3段全部を使う必要はありません。

逆に4段という回答例もあるかもしれませんが、3段で累巡回拡大になっている例がわかっているので、3段までで止めました。

だったら自動で探せないかな

結局いくつかの巡回群の積で全部の自己同型写像が1つずつ出せるならそれでよいということなので、プログラムを使って力技で見つけ出せそうですね。

1	7	11	13	17	19	23	29
31	37	41	43	47	49	53	59
61	67	71	73	77	79	83	89
91	97	101	103	107	109	113	119
121	127	131	133	137	139	143	149
151	157	161	163	167	169	173	179

1	7	11	13	17	19	23	29
31	37	41	43	47	49	53	59
61	67	71	73	77	79	83	89
91	97	101	103	107	109	113	119
121	127	131	133	137	139	143	149
151	157	161	163	167	169	173	179

1の180乗根...の他の累巡回拡大を探す

固定する元が共通で巡回する写像を探す

見つかった最初の巡回群

巡回群の組み合わせ

ℚ(ζ)/ℚ

ℚ(ζ)/ℚ

ℚ(ζ)/ℚ

説明と考察

だったら自動で探せないかな

1	7	11	13	17	19	23	29
31	37	41	43	47	49	53	59
61	67	71	73	77	79	83	89
91	97	101	103	107	109	113	119
121	127	131	133	137	139	143	149
151	157	161	163	167	169	173	179