1の180乗根...固定体と巡回の一覧

σi	固定する元 (ζの指数のみ)	数
σ7	30 60 90 120 150	5
σ11	18 36 54 72 90 108 126 144 162	9
σ13	15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165	11
σ17	45 90 135	3
σ19	10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170	17
σ23	90	1
σ29	45 90 135	3
σ31	6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174	29
σ37	5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175	35
σ41	9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171	19
σ43	30 60 90 120 150	5
σ47	90	1
σ49	15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165	11
σ53	45 90 135	3
σ59	90	1
σ61	3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99 102 105 108 111 114 117 120 123 126 129 132 135 138 141 144 147 150 153 156 159 162 165 168 171 174 177	59
σ67	30 60 90 120 150	5
σ71	18 36 54 72 90 108 126 144 162	9
σ73	5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175	35
σ77	45 90 135	3
σ79	30 60 90 120 150	5
σ83	90	1
σ89	45 90 135	3
σ91	2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136 138 140 142 144 146 148 150 152 154 156 158 160 162 164 166 168 170 172 174 176 178	89
σ97	15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165	11
σ101	9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171	19
σ103	30 60 90 120 150	5
σ107	90	1
σ109	5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175	35
σ113	45 90 135	3
σ119	90	1
σ121	3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99 102 105 108 111 114 117 120 123 126 129 132 135 138 141 144 147 150 153 156 159 162 165 168 171 174 177	59
σ127	10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170	17
σ131	18 36 54 72 90 108 126 144 162	9
σ133	15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165	11
σ137	45 90 135	3
σ139	30 60 90 120 150	5
σ143	90	1
σ149	45 90 135	3
σ151	6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174	29
σ157	15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165	11
σ161	9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171	19
σ163	10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170	17
σ167	90	1
σ169	15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165	11
σ173	45 90 135	3
σ179	90	1

16乗根の場合の表と比較する

早速前提条件を崩しますが、ζを1の16乗根としたときの、拡大体 ℚ(ζ)/ℚ のガロア群の元をσ_iとして、同じ表です。

つまり、ℚ(ζ)/ℚで σ_i が固定する元の一覧です。8とあればζ⁸が固定される(σを作用してもζ⁸のまま変化しない)ということですが、ζが180乗根のときと異なるものを指すことに注意してください。

σ3	8	1
σ5	4 8 12	3
σ7	8	1
σ9	2 4 6 8 10 12 14	7
σ11	8	1
σ13	4 8 12	3
σ15	8	1

巡回群の固定体とグループ分けの表

再び180乗にもどして、各σを生成元とした巡回がσ₁に戻るまでの過程と、位数を調べます。

ℚ(ζ)⊃ℚ(ζ⁵)⊃ℚ(ζ⁴⁵)⊃ℚ に合わせて、その巡回群がζ⁴⁵を固定するかも調べます(True/False)。

ζ⁵の変換先で、グループ分けが見えてきます。

σ	σの累乗	固定するか	位数	σ(ζ5)
σ7	7 49 163 61 67 109 43 121 127 169 103 1	False	12	35
σ11	11 121 71 61 131 1	False	6	55
σ13	13 169 37 121 133 109 157 61 73 49 97 1	True	12	65
σ17	17 109 53 1	True	4	85
σ19	19 1	False	2	95
σ23	23 169 107 121 83 109 167 61 143 49 47 1	False	12	115
σ29	29 121 89 61 149 1	True	6	145
σ31	31 61 91 121 151 1	False	6	155
σ37	37 109 73 1	True	4	5
σ41	41 61 161 121 101 1	True	6	25
σ43	43 49 127 61 103 109 7 121 163 169 67 1	False	12	35
σ47	47 49 143 61 167 109 83 121 107 169 23 1	False	12	55
σ49	49 61 109 121 169 1	True	6	65
σ53	53 109 17 1	True	4	85
σ59	59 61 179 121 119 1	False	6	115
σ61	61 121 1	True	3	125
σ67	67 169 163 121 7 109 103 61 127 49 43 1	False	12	155
σ71	71 1	False	2	175
σ73	73 109 37 1	True	4	5
σ77	77 169 53 121 137 109 113 61 17 49 173 1	True	12	25
σ79	79 121 19 61 139 1	False	6	35
σ83	83 49 107 61 23 109 47 121 143 169 167 1	False	12	55
σ89	89 1	True	2	85
σ91	91 1	False	2	95
σ97	97 49 73 61 157 109 133 121 37 169 13 1	True	12	125
σ101	101 121 161 61 41 1	True	6	145
σ103	103 169 127 121 43 109 67 61 163 49 7 1	False	12	155
σ107	107 109 143 1	False	4	175
σ109	109 1	True	2	5
σ113	113 169 17 121 173 109 77 61 53 49 137 1	True	12	25
σ119	119 121 179 61 59 1	False	6	55
σ121	121 61 1	True	3	65
σ127	127 109 163 1	False	4	95
σ131	131 61 71 121 11 1	False	6	115
σ133	133 49 37 61 13 109 97 121 73 169 157 1	True	12	125
σ137	137 49 53 61 77 109 173 121 17 169 113 1	True	12	145
σ139	139 61 19 121 79 1	False	6	155
σ143	143 109 107 1	False	4	175
σ149	149 61 89 121 29 1	True	6	25
σ151	151 121 91 61 31 1	False	6	35
σ157	157 169 73 121 97 109 13 61 37 49 133 1	True	12	65
σ161	161 1	True	2	85
σ163	163 109 127 1	False	4	95
σ167	167 169 143 121 47 109 23 61 107 49 83 1	False	12	115
σ169	169 121 109 61 49 1	True	6	125
σ173	173 49 17 61 113 109 137 121 53 169 77 1	True	12	145
σ179	179 1	False	2	175