1の180乗根...固定体と巡回の一覧

このページの前提条件

ζを1の180乗根としたときの、拡大体 ℚ(ζ)/ℚ のガロア群の元をσiとしています。σiは σi(ζ)=ζiで定義されます。180が素数でないので、iは不連続になり、σi の個数は48です。

前のページ(1の180乗根が作る拡大体のガロア群の変換表)から目視で探すのが面倒なものについてプログラムで書き出したものです。

各写像が固定する元の一覧

ℚ(ζ)/ℚで σi が固定する元の一覧です。30とあればζ30が固定される(σを作用してもζ30のまま変化しない)ということです。

σi固定する元 (ζの指数のみ)
σ730 60 90 120 150 5
σ1118 36 54 72 90 108 126 144 162 9
σ1315 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 11
σ1745 90 135 3
σ1910 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 17
σ2390 1
σ2945 90 135 3
σ316 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 29
σ375 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 35
σ419 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 19
σ4330 60 90 120 150 5
σ4790 1
σ4915 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 11
σ5345 90 135 3
σ5990 1
σ613 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99 102 105 108 111 114 117 120 123 126 129 132 135 138 141 144 147 150 153 156 159 162 165 168 171 174 177 59
σ6730 60 90 120 150 5
σ7118 36 54 72 90 108 126 144 162 9
σ735 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 35
σ7745 90 135 3
σ7930 60 90 120 150 5
σ8390 1
σ8945 90 135 3
σ912 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136 138 140 142 144 146 148 150 152 154 156 158 160 162 164 166 168 170 172 174 176 178 89
σ9715 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 11
σ1019 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 19
σ10330 60 90 120 150 5
σ10790 1
σ1095 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 35
σ11345 90 135 3
σ11990 1
σ1213 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99 102 105 108 111 114 117 120 123 126 129 132 135 138 141 144 147 150 153 156 159 162 165 168 171 174 177 59
σ12710 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 17
σ13118 36 54 72 90 108 126 144 162 9
σ13315 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 11
σ13745 90 135 3
σ13930 60 90 120 150 5
σ14390 1
σ14945 90 135 3
σ1516 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 29
σ15715 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 11
σ1619 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 19
σ16310 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 17
σ16790 1
σ16915 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 11
σ17345 90 135 3
σ17990 1

16乗根の場合の表と比較する

早速前提条件を崩しますが、ζを1の16乗根としたときの、拡大体 ℚ(ζ)/ℚ のガロア群の元をσiとして、同じ表です。

つまり、ℚ(ζ)/ℚで σi が固定する元の一覧です。8とあればζ8が固定される(σを作用してもζ8のまま変化しない)ということですが、ζが180乗根のときと異なるものを指すことに注意してください。

σ38 1
σ54 8 12 3
σ78 1
σ92 4 6 8 10 12 14 7
σ118 1
σ134 8 12 3
σ158 1

巡回群の固定体とグループ分けの表

再び180乗にもどして、各σを生成元とした巡回がσ1に戻るまでの過程と、位数を調べます。

ℚ(ζ)⊃ℚ(ζ5)⊃ℚ(ζ45)⊃ℚ に合わせて、その巡回群がζ45を固定するかも調べます(True/False)。

ζ5の変換先で、グループ分けが見えてきます。

σσの累乗固定するか位数σ(ζ5)
σ77 49 163 61 67 109 43 121 127 169 103 1 False1235
σ1111 121 71 61 131 1 False655
σ1313 169 37 121 133 109 157 61 73 49 97 1 True1265
σ1717 109 53 1 True485
σ1919 1 False295
σ2323 169 107 121 83 109 167 61 143 49 47 1 False12115
σ2929 121 89 61 149 1 True6145
σ3131 61 91 121 151 1 False6155
σ3737 109 73 1 True45
σ4141 61 161 121 101 1 True625
σ4343 49 127 61 103 109 7 121 163 169 67 1 False1235
σ4747 49 143 61 167 109 83 121 107 169 23 1 False1255
σ4949 61 109 121 169 1 True665
σ5353 109 17 1 True485
σ5959 61 179 121 119 1 False6115
σ6161 121 1 True3125
σ6767 169 163 121 7 109 103 61 127 49 43 1 False12155
σ7171 1 False2175
σ7373 109 37 1 True45
σ7777 169 53 121 137 109 113 61 17 49 173 1 True1225
σ7979 121 19 61 139 1 False635
σ8383 49 107 61 23 109 47 121 143 169 167 1 False1255
σ8989 1 True285
σ9191 1 False295
σ9797 49 73 61 157 109 133 121 37 169 13 1 True12125
σ101101 121 161 61 41 1 True6145
σ103103 169 127 121 43 109 67 61 163 49 7 1 False12155
σ107107 109 143 1 False4175
σ109109 1 True25
σ113113 169 17 121 173 109 77 61 53 49 137 1 True1225
σ119119 121 179 61 59 1 False655
σ121121 61 1 True365
σ127127 109 163 1 False495
σ131131 61 71 121 11 1 False6115
σ133133 49 37 61 13 109 97 121 73 169 157 1 True12125
σ137137 49 53 61 77 109 173 121 17 169 113 1 True12145
σ139139 61 19 121 79 1 False6155
σ143143 109 107 1 False4175
σ149149 61 89 121 29 1 True625
σ151151 121 91 61 31 1 False635
σ157157 169 73 121 97 109 13 61 37 49 133 1 True1265
σ161161 1 True285
σ163163 109 127 1 False495
σ167167 169 143 121 47 109 23 61 107 49 83 1 False12115
σ169169 121 109 61 49 1 True6125
σ173173 49 17 61 113 109 137 121 53 169 77 1 True12145
σ179179 1 False2175