1の180乗根...を累巡回拡大で表す

体の包含関係

中間体のとり方は、いくつかあるはずですが、まずは書籍Iにしたがって、次のようにとってみます。

ℚ(ζ)で付け加わる元として書いてあるのは、ζから派生するけど、ℚ(ζ⁵)の元にならないものです。

ℚ(ζ⁵)で付け加わる元として書いてあるのは、ζ⁵から派生するけど、ℚ(ζ⁴⁵)の元にならないものです。

ℚ(ζ⁴⁵)で付け加わる元として書いてあるのは、ζ⁴⁵(=i)から派生するけど、ℚの元にならないものです。

各拡大ごとのガロア群

書籍Iではどの拡大でもガロア群の元のひとつを単にσと書いて<σ>を求めていますが、ここでは、σ_i(ζ)=ζⁱ を使って区別して書きます。

まず、それぞれの元を列挙します。

注1 書籍Iではσ(ζ)=ζ⁵として(つまりσ₅)、σの巡回を調べます。

σ(ζ5)=ζ25
σ2(ζ5)=ζ125
σ3(ζ5)=ζ85
σ4(ζ5)=ζ65
σ5(ζ5)=ζ145
σ6(ζ5)=ζ5

σ⁶はζ⁵を変換しないのでeであるといっています。

σ(ζ)=ζ⁵と明言しているので、σ²はσ₂₅になってしまいます。ここに書いたσの添字はこれに従っています。

しかし、これでは支障があります。

Gal(ℚ(ζ)/ℚ) = Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ5)) × Gal(ℚ(ζ5)/ℚ(ζ45)) × Gal(ℚ(ζ5)/ℚ(ζ45))

が成立しません。eがなくなります。σ₂₅などGal(ℚ(ζ)/ℚ)には存在しないものが残ります。

おそらく、σ(ζ)=ζ⁵としたのが間違いです。ここではζ⁵に作用してζ²⁵になる変換で、位数が6で巡回するものであればいいので、σ(ζ)=ζ⁵とは限りません。(書籍Iでもこのσ(ζ)=ζ⁵のσはℚ(ζ)上の同型写像でないと注意を促し、σ(ζ)=ζ²⁹のσをとればよいのだが、べき数の計算が目で追えないのでσ(ζ)=ζ⁵を使ったとしています。)

ひょっとすれば、さらにζ²⁵にならなくても、適当に巡回して位数が6であるものでいいのだと思います。(σ₂₉はこれに当たります)

注2 書籍Iではσ(i)=-i としていますが、Gal(ℚ(ζ)/ℚ) の中では σ₁₇₉ がそれに当たります。

正しい位数6の巡回群

ではとりあえず、ζ⁵に作用してζ²⁵になる変換を探します。

mod 180 で考えますから、ζ^25+180*i でもよいわけです。

σ(ζ5)=ζ25+180 なら σ=σ41
σ(ζ5)=ζ25+360 なら σ=σ77
σ(ζ5)=ζ25+540 なら σ=σ113
σ(ζ5)=ζ25+720 なら σ=σ149
σ(ζ5)=ζ25+900 なら σ=σ5 で戻ります。

それぞれの巡回の様子です。

ということで「ζ⁵に作用してζ²⁵になる変換で、位数が6で巡回するもの」の候補は <σ₄₁>か<σ₁₄₉>です。

(σ₅の部分は無理やり合わせて書いたものです)

各拡大ごとのガロア群の書き直し

これで原始180乗根ζを使って統一して定義したσを使って書くことができます。

<σ₄₁>を用いると

<σ₁₄₉>を用いると

適当に巡回して位数が6であるもの

Gal(ℚ(ζ⁵)/ℚ(ζ⁴⁵))に使えるものを更に探します。

プログラムで書き出したものから、ℚ(ζ⁴⁵)を固定して位数が6であるものを選ぶと次の6つです。

<σ₄₁>と<σ₁₄₉>の他に、<σ₂₉>,<σ₄₉>,<σ₁₀₁>,<σ₁₆₉>が使えることがわかります。

実はσ₄₉とσ₁₆₉はのちに「巡回を考える」で不適格とされます。

ガロア群の包含関係

ガロア群と中間体の対応を書くと、

Gal(ℚ(ζ)/ℚ)  ⊃  Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ45))  ⊃  Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ5)) ⊃  {e}
    ℚ         ⊂      ℚ(ζ45)         ⊂      ℚ(ζ5)       ⊂  ℚ(ζ)

{e} は Gal(ℚ(ζ)/ℚ(ζ)) なのでしょうから表にしてみます。

表の上下を体の包含関係に合わせてあります。16乗の時と上下が逆です。

上で述べたGal(ℚ(ζ⁵)/ℚ(ζ⁴⁵))などの各拡大で出てきたσと混同しがちなので、/ の右側、分母に当たる部分が広いものが上になるように表をつくりました。

ℚ(ζ)/ℚのガロア群から改めて考える

包含関係に書かれるガロア群とGal(ℚ(ζ⁵)/ℚ(ζ⁴⁵))やGal(ℚ(ζ⁴⁵)/ℚ)との関係を明らかにしたいのです。

ℚ(ζ)/ℚから考えます。ζを1の180乗根としました。180=3²*2²*5なので、φ(180)=3*2*2*4=48 から原始180乗根の数は48個です。ζⁱ(1≦i≦179)のうち、iが180と互いに素であるものです。▶

ガロア群のGal(ℚ(ζ)/ℚ)の元はζⁱを互いに変換しますが、ζ¹の変換を決めれば他の変換は同型写像の条件より決定されますから、σ_i(ζ)=ζⁱで48個のすべての変換に名前をつけます。

イメージは下図のとおり。σ_iはℚ(ζ)の元ではないですが、ℚ(ζ)中の元を変換するという意味合いで入れています。本当は ζ¹↦ζ⁷ と書いて↦の上にσ₇と書き、 ζ¹↦ζ¹¹ と書いて↦の上にσ₁₁と書く....などとしたいところですが、煩雑なのでやめておきます。

ℚ(ζ^5)を加える

中間体としてℚ(ζ⁵)を考えます。ℚ(ζ)内部に ℚ(ζ⁵)/ℚが入っている図です。

ζ⁵で書くとわかりづらいですが、1の36乗根です。36=3²*2²なので、φ(36)=3*2*2=12 から原始36乗根の数は12個です。

ζ^j(1≦j≦179)のうち、jが5の倍数であるものが、ℚ(ζ⁵)内に入ります。

問題はσです。ℚ(ζ⁵)を固定するものだけをℚ(ζ)内に残します。ℚ(ζ)内にはℚ(ζ)中の元を変換するものを書くことにしたからです。ℚ(ζ)/ℚ(ζ⁵)を考えると適切でしょう。固定するものを実際に調べるとσ₁(=e),σ₃₇,σ₇₃,σ₁₀₉の4つだけです。▶

すると、ℚ(ζ⁵)を固定しないσは48-4で44個です。これが、ℚ(ζ⁵)内に入るのでしょうか。これでは多過ぎます。12個でいいのです。

1の36乗根を加えた体

改めてℚ(ζ⁵)/ℚを考え直します。η³⁶=1 として ℚ(η)/ℚ を考えます。

η=ζ5

という対応をしています。

ηⁱ(1≦i≦35)のうち、iが36と互いに素であるものが原始36乗根となり、12個あります。

η,η5,η7,η11,η13,η17,η19,η23,η25,η29,η31,η35

です。同型写像も12個です。

τ_i(η)=ηⁱ と名前をつけましょう。

τとσの対応を調べます。η=ζ⁵ですから、ζ⁵をζ^5*iに換えるものがτ_iです。つまり、

σk(ζ5)=ζ5*i ならば、σk=τi

です。

注3 ζ⁵がζ¹⁸⁵になったことは、ηがη³⁷になったこと。ηは mod 36 で考えるから η³⁷≡η=ζ⁵ 。つまり、ζで mod 180 で計算して良いことになる。σ₃₇はℚ(ζ⁵)を固定するので、もともとここには入っていない。

注4 1≦i≦31までσ_i=τ_iであったが、τ₅があるはずなのに抜けていた。ここでそれが出てきた。

最後の、τ₃₅:σ₇₁,σ₁₀₇,σ₁₄₃,σ₁₇₉で言えば、ℚ(ζ⁵)の内部では、σ₇₁,σ₁₀₇,σ₁₄₃,σ₁₇₉は全部同じものですから、この中のどれかがあれば、τ₃₅の働きをするということです。

ℚ(ζ)⊃ℚ(ζ^5)⊃ℚと中間体のある場合のガロア群

各拡大ごとのガロア群との対応に戻って、「σとτの対応のまとめ」から、とりあえず添字の数値が小さいものを入れてみます。

σ₁(=e)が2つあるのが気になりますが、これがなければ Gal(ℚ(ζ⁵)/ℚ)においてζ⁵をζ⁵に移す変換がなくなってしまいますし、 12個という数も揃わなくなりますので入れておきます。

さて、再びGal(ℚ(ζ)/ℚ)を考えると、前の図では変換が48個あったものが省かれてしまったものがでて、数が足りません。

しかし、上層の(ℚ(ζ)に働くσ₁(=e),σ₃₇,σ₇₃,σ₁₀₉の4つと掛け合わせることで4×12=48となります。

例としてτ₃₅で説明します。τ₃₅からはσ₇₁,σ₁₀₇,σ₁₄₃,σ₁₇₉のうちどれかを選択します。どれを選択しても、σ₁(=e),σ₃₇,σ₇₃,σ₁₀₉と掛け合わせることで、残りの3つが出てきます。

71が選択されていて、71×1=71, 71×37=2627≡107(mod180), 71×73=5183≡143(mod180), 71×109=7739≡179(mod180) ということで、残りの3つが出ています。71の代わりにクリックで107,143,179のどれかを選択しても、同じ4つが揃います。

以下で他の要素についても確認できます。

ζ^45を固定する変換を洗い出す

τ_nに選択した変換が全体で巡回群になっていれば可解列を見つけたことになります。でも書籍Iでもう1段階の中間体を入れていますから、巡回群にはなっていないのでしょう。書籍Iの次の中間体はℚ(ζ⁴⁵)です。τ_nに相当する要素の巡回を調べながら、ℚ(ζ⁴⁵)を固定するか調べてみます。

ζ⁴⁵は、1の4乗根です。4=2²なので、φ(4)=2*1=2 から原始4乗根の数は2個です。もちろん、ζ⁴⁵とζ¹³⁵です。

ζ^j(jは5の倍数)のうち、jが45の倍数であるものが、ℚ(ζ⁴⁵)内に入ります。

次の表は「適当に巡回して位数が6であるもの」で使ったものを全部書き出しました。

<σ₃₇>は、{37 109 73 1}となり、ζ⁴⁵を変化させず(True)、位数は4で、ζ⁵は変化しないと読みます。

θ=ζ45

θ,θ3

υ1(θ)=θ1, υ3(θ)=θ3

σk(ζ45)=ζ45 ならば、σk=υ1
σk(ζ45)=ζ135 ならば、σk=υ3

それぞれのσ_nは、それぞれ4つの候補のうちとりあえず選んだものなので、全部調べてみます。同じグループでも巡回の様子や位数は異なります。ζ⁴⁵だけは位数2で巡回しています。

υ₃と同様にσ_nも、位数2で巡回しなければならない(確証はないですが)とすると、σ₁₉,σ₉₁, σ₇₁, σ₁₇₉ という4つの選択肢があるということになります。

いろいろな組み合わせを試してみる

ℚ(ζ⁵)には取り合えず σ₁(=e),σ₁₃,σ₁₇, σ₆₁,σ₂₉,σ₄₁の6つを残しましたが、巡回を考慮しなければそれぞれ4つの候補から選択できました。これをまだ確定できずにいますが、さらにℚ(ζ⁴⁵)に移したものから、2つ残して、ℚ(ζ⁵)に残した6つと掛け合わせて12のτに相当するσが出てくるようにしなければなりません。

ℚ(ζ⁴⁵)に残す候補は、υ₁に相当するもの4つから一つ。υ₃も位数2を考慮するとσ₁₉,σ₉₁, σ₇₁, σ₁₇₉の4つから一つです。

ただ、念の為に位数2でないものも含めて24個用意して調べると、掛け合わせて必要な12個が出てくるようになっています。

σ₁(=e)が2つあるのが気になりますと書きましたが、σ₃₇などのτ₁のグループの元を配置しても掛け合わせたものはτ₁のグループになります。これにℚ(ζ)にある4つのσ(τ₁のグループです)を掛けるとどれかがσ₁になります。自由度はかなり高いといえます。

ℚ(ζ)⊃ℚ(ζ^5)⊃ℚ(ζ^45)⊃ℚ の各拡大のガロア群

ζⁿの包含関係は問題ないでしょう。

ℚ(ζ)内部にあるσ₁(=e),σ₃₇,σ₇₃,σ₁₀₉は、ℚ(ζ)/ℚ(ζ⁵)のガロア群です。

ℚ(ζ⁵)内部にあるσ₁(=e),σ₁₃,σ₁₇, σ₆₁,σ₂₉,σ₄₁ は、ℚ(ζ⁵)/ℚ(ζ⁴⁵)のガロア群です。

ℚ(ζ)/ℚ(ζ⁴⁵)のガロア群は、ℚ(ζ)/ℚ(ζ⁵)とℚ(ζ⁵)/ℚ(ζ⁴⁵)のそれぞれのガロア群の元を掛け合わせたものになります。

ℚ(ζ)/ℚのガロア群は、さらにℚ(ζ⁴⁵)/ℚのガロア群の元を掛け合わせたものになります。

巡回を考える

ℚ(ζ)に書いたσ₁(=e),σ₃₇,σ₇₃,σ₁₀₉は巡回群です。それは、ℚ(ζ⁵)の元を固定するσを選択すると自然にそうなったのです。一方、ℚ(ζ⁵)に書いたσは、ℚ(ζ⁴⁵)を固定するものが多かったので、ζ⁵を移す先が異なるものを選択するようにしました。この選択の条件にあえて巡回を入れませんでした。ℚ(ζ⁴⁵)のσはさらに選択肢が増えました。巡回を考慮すると候補は4つになりますが、考慮しなくても自己同型群という意味では問題ありませんでした。

多段階の拡大に分けたのは、各段階の拡大でガロア群が巡回群になるようにするためですので、それを考慮して条件がどのように絞られるかを見ていきます。

次の表は、上の「次の中間体」で出した表と基本的には同じですが、ζ⁴⁵を固定するもののみとし、生成される巡回群の各元が、対応するτに基づきどのグループに属するかを加えたものです。τの添字は不連続なので順番に0〜5の番号をつけました。これが全部出てくる巡回を探します。

中には2回まわっているものもありますが、これを排除すべききちんとした説明は持ち合わせていませんが、1回まわって位数6というのを採用すると、4つということになります。

上の「適当に巡回して位数が6であるもの」では位数6だけで探して6つという結論でしたが、この内の2つが不適格ということになります。

<σ37>={σ37,σ109,σ73,σ1}
<σ73>={σ73,σ109,σ37,σ1}

<σ41>={σ41,σ61,σ161,σ121,σ101,σ1} 
<σ101>={σ101,σ121,σ161,σ61,σ41,σ1}
<σ29>={σ29,σ121,σ89,σ61,σ149,σ1}
<σ149>={σ149,σ61,σ89,σ121,σ29,σ1}

<σ19>={σ19,σ1}
<σ91>={σ91,σ1}
<σ71>={σ71,σ1}
<σ179>={σ179,σ1}

計算で出てきた元の背景色が黄色になり、変換の数が示されます。48個全部に色がついて、数が48になると成功です。

変換の数 .

色がつかないところがあって、変換の数が48になるのは同じ変換が複数出てきたということになります。

全部色がついても変換の数が48より多い場合は、同じ変換が複数出てきたということになります。