1の27乗根が作る拡大体

ℚ(ζ)とその拡大次数

x²⁷-1=0 の解は ζ = cos(360˚/27)+isin(360˚/27) として、1,ζ,ζ²,ζ³,…,ζ²⁶の27個で...というのは省いてしまっています。

拡大次数を調べるために、ζのℚ上の最小多項式を求めます。

27次の円分多項式、Φ₂₇(x)=O は、1の原始27乗根だけが解になる式です。

根は ζ,ζ²,ζ⁴,ζ⁵,ζ⁷,…,ζ²⁶ と3の倍数を除いたもので18個です。φ(27)=3²(3-1)=18 でも確認できます。

Φ₂₇(x)=O の最小分解体も ℚ(ζ) です。

ℚ(ζ)のζⁱを別のζ^jに対応付ける写像のうち、1の原始27乗根に移すものだけを考えます。

具体的に計算してみます。ここでも、

σi(ζ)=ζi (i=1,2,4,5,…,26)

とします。σ_iは恒等変換です。

同時に、5乗根の時と同様に、同型写像の条件を満たすようにζ¹以外の移り先の組み合わせも確認します。

巡回群になっているか(σ2)

さらに σ₁ 〜 σ₂₆ が巡回群になっているかを調べます。より正確に書くと、どれを生成元とすれば巡回群になるかということです。

まずはσ₂を繰り返し作用させた表です。

ζ^kは初期値です。k=1から始めると、18回で1に戻ります。全体を巡回する群になっています。

3の倍数乗はσとしては出てきませんが、ℚ(ζ)には含まれますので、ζの3の倍数乗も適切に移されなければなりません。6回で3の倍数を巡回してうまく行っています。

巡回群になっているものがさらにある

σ₂ の他に σ₅, σ₁₁, σ₁₄, σ₂₀, σ₂₃ が σ₂ と同様に全体で巡回し、3の倍数乗の元も6回で巡回してうまく行っています。

K=5と10が変化せず、その他は2回で戻ります。

その他の典型例

全体が巡回群にならない場合は、9回、6回、3回、2回のどれかで巡回します。σ₄だけ示します。これは9回で巡回します。

ℚ(ζ)/ℚのガロア群

Gal(ℚ(ζ)/ℚ)={σ₁,σ₂,σ₄,σ₅ ,…,σ₂₆} です。

Gal(ℚ(ζ)/ℚ)={e,σ,σ²,σ³,…,σ¹⁸} (σ=σ₄,σ₁₁,σ₁₄,σ₂₀,σ₂₃)とも書けます。

ℚ(ζ)/ℚ は1段ですが、累巡回拡大ということができます。