x15-1=0 の解は ζ = cos24˚+isin24˚ として、1,ζ,ζ2,ζ3,…,ζ14の15個です。
x15-1=0 の最小分解体はℚ(ζ,ζ2,ζ3,…,ζ14)=ℚ(ζ)です。
拡大次数を調べるために、ζのℚ上の最小多項式を求めます。
15次の円分多項式は
Φ15(x)=(x15-1)(x-1)/(x5-1)/(x3-1)
これは原始15乗根だけが解になる式を求めたことになります。
ℚ(ζ)のζiを別のζjに対応付ける写像のうち、有理数にしてしまうことのある写像を排除するためのようです。
具体的に計算してみます。ここでも、
σi(ζ)=ζi (i=1,2,3,…,14)
とします。σiは恒等変換です。
同時に、5乗根の時と同様に、同型写像の条件を満たすようにζ1以外の移り先の組み合わせも確認します。
σ1 | σ2 | σ3 | σ4 | σ5 | σ6 | σ7 | σ8 | σ9 | σ10 | σ11 | σ12 | σ13 | σ14 | |
ζ1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
ζ2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
ζ3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 |
ζ4 | 4 | 8 | 12 | 1 | 5 | 9 | 13 | 2 | 6 | 10 | 14 | 3 | 7 | 11 |
ζ5 | 5 | 10 | 0 | 5 | 10 | 0 | 5 | 10 | 0 | 5 | 10 | 0 | 5 | 10 |
ζ6 | 6 | 12 | 3 | 9 | 0 | 6 | 12 | 3 | 9 | 0 | 6 | 12 | 3 | 9 |
ζ7 | 7 | 14 | 6 | 13 | 5 | 12 | 4 | 11 | 3 | 10 | 2 | 9 | 1 | 8 |
ζ8 | 8 | 1 | 9 | 2 | 10 | 3 | 11 | 4 | 12 | 5 | 13 | 6 | 14 | 7 |
ζ9 | 9 | 3 | 12 | 6 | 0 | 9 | 3 | 12 | 6 | 0 | 9 | 3 | 12 | 6 |
ζ10 | 10 | 5 | 0 | 10 | 5 | 0 | 10 | 5 | 0 | 10 | 5 | 0 | 10 | 5 |
ζ11 | 11 | 7 | 3 | 14 | 10 | 6 | 2 | 13 | 9 | 5 | 1 | 12 | 8 | 4 |
ζ12 | 12 | 9 | 6 | 3 | 0 | 12 | 9 | 6 | 3 | 0 | 12 | 9 | 6 | 3 |
ζ13 | 13 | 11 | 9 | 7 | 5 | 3 | 1 | 14 | 12 | 10 | 8 | 6 | 4 | 2 |
ζ14 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
上の表のうち、 0 という所が有理数(1)になります。
14あるσのうち、3の倍数である3,6,9,12、5の倍数である5,10が自己同型な変換にならないということです。
ということなので、
σi(ζ)=ζi (i=1,2,3,…,14)
の中で同型写像になるものは、
σi(ζ)=ζi (i=1,2,4,7,8,11,13,14)
となります。
8つの自己同型写像の移り先をまとめます。
同型写像にσ3はありませんが、ℚ(ζ)の中にζ3はあります。これもℚに含まれない数に移らなくてはなりません。
σ1 | σ2 | σ4 | σ7 | σ8 | σ11 | σ13 | σ14 | |
ζ1 | 1 | 2 | 4 | 7 | 8 | 11 | 13 | 14 |
ζ2 | 2 | 4 | 8 | 14 | 1 | 7 | 11 | 13 |
ζ3 | 3 | 6 | 12 | 6 | 9 | 3 | 9 | 12 |
ζ4 | 4 | 8 | 1 | 13 | 2 | 14 | 7 | 11 |
ζ5 | 5 | 10 | 5 | 5 | 10 | 10 | 5 | 10 |
ζ6 | 6 | 12 | 9 | 12 | 3 | 6 | 3 | 9 |
ζ7 | 7 | 14 | 13 | 4 | 11 | 2 | 1 | 8 |
ζ8 | 8 | 1 | 2 | 11 | 4 | 13 | 14 | 7 |
ζ9 | 9 | 3 | 6 | 3 | 12 | 9 | 12 | 6 |
ζ10 | 10 | 5 | 10 | 10 | 5 | 5 | 10 | 5 |
ζ11 | 11 | 7 | 14 | 2 | 13 | 1 | 8 | 4 |
ζ12 | 12 | 9 | 3 | 9 | 6 | 12 | 6 | 3 |
ζ13 | 13 | 11 | 7 | 1 | 14 | 8 | 4 | 2 |
ζ14 | 14 | 13 | 11 | 8 | 7 | 4 | 2 | 1 |
さらに σ1 〜
まずはσ2を繰り返し作用させた表です。
σi | ζk | σi1 | σi2 | σi3 | σi4 |
σ2 | 1 | 2 | 4 | 8 | 1 |
7 | 14 | 13 | 11 | 7 | |
3 | 6 | 12 | 9 | 3 | |
5 | 10 | 5 | 10 | 5 |
ζkは初期値です。K=1から始めると、4回で1に戻ります。1からの巡回で出てこない7を初期値にすると別の値をとってやはり4回で戻ります。さらに出てこない3を初期値にするとまた別の経路で4回で戻ります。さらに出てこない5で始めると今度は2回で戻ります。
ζの移り先の指数がσの添字と決めたので、2,4,8,1はσの巡回でもあります。
全体を巡回することはありませんが、自己同型な写像群にはなっているようです。
σ4を繰り返し作用させた表です。
σi | ζk | σi1 | σi2 |
σ4 | 1 | 4 | 1 |
2 | 8 | 2 | |
3 | 12 | 3 | |
5 | 5 | 5 | |
6 | 9 | 6 | |
7 | 13 | 7 | |
10 | 10 | 10 | |
11 | 14 | 11 |
K=5と10が変化せず、その他は2回で戻ります。
どれを生成元とすれば巡回群になるかを調べています。σ2,σ4と調べてきましたので、残りの 7,8,11,13,14です。
σi | ζk | σi1 | σi2 | σi3 | σi4 |
σ7 | 1 | 7 | 4 | 13 | 1 |
2 | 14 | 8 | 11 | 2 | |
3 | 6 | 12 | 9 | 3 | |
5 | 5 | 5 | 5 | 5 | |
10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
σi | ζk | σi1 | σi2 | σi3 | σi4 |
σ8 | 1 | 8 | 4 | 2 | 1 |
7 | 11 | 13 | 14 | 7 | |
3 | 9 | 12 | 6 | 3 | |
5 | 10 | 5 | 10 | 5 |
σi | ζk | σi1 | σi2 |
σ11 | 1 | 11 | 1 |
2 | 7 | 2 | |
3 | 3 | 3 | |
4 | 14 | 4 | |
5 | 10 | 5 | |
6 | 6 | 6 | |
8 | 13 | 8 | |
9 | 9 | 9 | |
12 | 12 | 12 |
σi | ζk | σi1 | σi2 | σi3 | σi4 |
σ13 | 1 | 13 | 4 | 7 | 1 |
2 | 11 | 8 | 14 | 2 | |
3 | 9 | 12 | 6 | 3 | |
5 | 5 | 5 | 5 | 5 | |
10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
σi | ζk | σi1 | σi2 |
σ14 | 1 | 14 | 1 |
2 | 13 | 2 | |
3 | 12 | 3 | |
4 | 11 | 4 | |
5 | 10 | 5 | |
6 | 9 | 6 | |
7 | 8 | 7 |
Gal(ℚ(ζ)/ℚ)={σ1,σ2,σ4,σ7,σ8 σ11,σ13,σ14} です。
全体をひとつの巡回群で書くことはできません。
この後、書籍Iのテキストでは、定理6.3でℚ(ζ)/ℚは累巡回拡大であることを主張します。
論法としては、Gal(ℚ(ζ)/ℚ)≅(Z/15Z)* であることが確かめられた。(Z/nZ)*は巡回群の直積に同型で、巡回群の直積は可解群なので、ℚ(ζ)/ℚは累巡回拡大というものです。
ちょっと足りないと思います。
累巡回拡大は後にx16-1=0 の拡大体で初めて説明されます。