生成元の組み合わせを手動で確認

ここで書いていること

有理数体ℚに1の原始n乗根を加えたℚ(ζ)/ℚという拡大の自己同型写像群を、いくつかの巡回群の直積で表すことができるような、生成元の組み合わせを手動で確認するのが目的です。

累巡回拡大(巡回群の直積)を虱潰しに探すでは自動で該当する組み合わせを探し出しましたが、固定体を含めて確認したいということです。180乗根のところでやったことをnを選択できるようにしたいですね。

巡回群の生成元の組合せを探す

累乗の指数 n を入力して[実行]ボタンを押してください。ζⁿ=1 であるようなζで、ℚ(ζ)/ℚ を決定します。σ_i(ζ)=ζⁱとします。

自己同型写像群の表示 ⇩以下に出力します ...

生成元の組み合わせの候補 ⇩以下に出力します ...

使用方法

記入欄に正の整数(実質2以上)を入れて[自己同型写像群の表示]を押します。

3箇所の「自己同型写像σの添字」欄と最下部の「合成される写像」に自己同型写像σ_iが並びます。

1,2,3欄の添字は青色でクリックできます。選択するとそれを生成元とする巡回群が、すぐ下の欄「生成される巡回群 σ_i」に緑の背景で出てきます。

さらに、その下の欄「共通に固定される ζⁱ」には巡回群中のどの写像によっても固定される(変換されない)ζの指数が表示されます。

最下部の「合成される写像」には1,2,3欄の巡回群の直積で出てくる自己同型写像が緑の背景になって示されます。背景色が白のままならその写像が積で出てこなかったことがわかります。背景色が赤の場合は複数回出てきたことを意味します。

[生成元の組み合わせの候補]のボタンを押すと、同じ正の整数について、巡回群の直積で全部の自己同型写像が一つずつ出てくるものを、すべて探し出します。生成元の添字の小さいものから並んでいます。固定されるζⁱを見ながら順番を変えて確認します。

「生成元の組み合わせ」使用例があります。

今後

このページはとりあえずここまでとします。