x27-1=0 の解は ζ = cos(360˚/27)+isin(360˚/27) として、1,ζ,ζ2,ζ3,…,ζ26の27個で...というのは省いてしまっています。
拡大次数を調べるために、ζのℚ上の最小多項式を求めます。
27次の円分多項式、Φ27(x)=O は、1の原始27乗根だけが解になる式です。
根は ζ,ζ2,ζ4,ζ5,ζ7,…,ζ26 と3の倍数を除いたもので18個です。φ(27)=32(3-1)=18 でも確認できます。
Φ27(x)=O の最小分解体も ℚ(ζ) です。
ℚ(ζ)のζiを別のζjに対応付ける写像のうち、1の原始27乗根に移すものだけを考えます。
具体的に計算してみます。ここでも、
σi(ζ)=ζi (i=1,2,4,5,…,26)
とします。σiは恒等変換です。
同時に、5乗根の時と同様に、同型写像の条件を満たすようにζ1以外の移り先の組み合わせも確認します。
σ1 | σ2 | σ4 | σ5 | σ7 | σ8 | σ10 | σ11 | σ13 | σ14 | σ16 | σ17 | σ19 | σ20 | σ22 | σ23 | σ25 | σ26 | |
ζ1 | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | 10 | 11 | 13 | 14 | 16 | 17 | 19 | 20 | 22 | 23 | 25 | 26 |
ζ2 | 2 | 4 | 8 | 10 | 14 | 16 | 20 | 22 | 26 | 1 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 25 |
ζ3 | 3 | 6 | 12 | 15 | 21 | 24 | 3 | 6 | 12 | 15 | 21 | 24 | 3 | 6 | 12 | 15 | 21 | 24 |
ζ4 | 4 | 8 | 16 | 20 | 1 | 5 | 13 | 17 | 25 | 2 | 10 | 14 | 22 | 26 | 7 | 11 | 19 | 23 |
ζ5 | 5 | 10 | 20 | 25 | 8 | 13 | 23 | 1 | 11 | 16 | 26 | 4 | 14 | 19 | 2 | 7 | 17 | 22 |
ζ6 | 6 | 12 | 24 | 3 | 15 | 21 | 6 | 12 | 24 | 3 | 15 | 21 | 6 | 12 | 24 | 3 | 15 | 21 |
ζ7 | 7 | 14 | 1 | 8 | 22 | 2 | 16 | 23 | 10 | 17 | 4 | 11 | 25 | 5 | 19 | 26 | 13 | 20 |
ζ8 | 8 | 16 | 5 | 13 | 2 | 10 | 26 | 7 | 23 | 4 | 20 | 1 | 17 | 25 | 14 | 22 | 11 | 19 |
ζ9 | 9 | 18 | 9 | 18 | 9 | 18 | 9 | 18 | 9 | 18 | 9 | 18 | 9 | 18 | 9 | 18 | 9 | 18 |
ζ10 | 10 | 20 | 13 | 23 | 16 | 26 | 19 | 2 | 22 | 5 | 25 | 8 | 1 | 11 | 4 | 14 | 7 | 17 |
ζ11 | 11 | 22 | 17 | 1 | 23 | 7 | 2 | 13 | 8 | 19 | 14 | 25 | 20 | 4 | 26 | 10 | 5 | 16 |
ζ12 | 12 | 24 | 21 | 6 | 3 | 15 | 12 | 24 | 21 | 6 | 3 | 15 | 12 | 24 | 21 | 6 | 3 | 15 |
ζ13 | 13 | 26 | 25 | 11 | 10 | 23 | 22 | 8 | 7 | 20 | 19 | 5 | 4 | 17 | 16 | 2 | 1 | 14 |
ζ14 | 14 | 1 | 2 | 16 | 17 | 4 | 5 | 19 | 20 | 7 | 8 | 22 | 23 | 10 | 11 | 25 | 26 | 13 |
ζ15 | 15 | 3 | 6 | 21 | 24 | 12 | 15 | 3 | 6 | 21 | 24 | 12 | 15 | 3 | 6 | 21 | 24 | 12 |
ζ16 | 16 | 5 | 10 | 26 | 4 | 20 | 25 | 14 | 19 | 8 | 13 | 2 | 7 | 23 | 1 | 17 | 22 | 11 |
ζ17 | 17 | 7 | 14 | 4 | 11 | 1 | 8 | 25 | 5 | 22 | 2 | 19 | 26 | 16 | 23 | 13 | 20 | 10 |
ζ18 | 18 | 9 | 18 | 9 | 18 | 9 | 18 | 9 | 18 | 9 | 18 | 9 | 18 | 9 | 18 | 9 | 18 | 9 |
ζ19 | 19 | 11 | 22 | 14 | 25 | 17 | 1 | 20 | 4 | 23 | 7 | 26 | 10 | 2 | 13 | 5 | 16 | 8 |
ζ20 | 20 | 13 | 26 | 19 | 5 | 25 | 11 | 4 | 17 | 10 | 23 | 16 | 2 | 22 | 8 | 1 | 14 | 7 |
ζ21 | 21 | 15 | 3 | 24 | 12 | 6 | 21 | 15 | 3 | 24 | 12 | 6 | 21 | 15 | 3 | 24 | 12 | 6 |
ζ22 | 22 | 17 | 7 | 2 | 19 | 14 | 4 | 26 | 16 | 11 | 1 | 23 | 13 | 8 | 25 | 20 | 10 | 5 |
ζ23 | 23 | 19 | 11 | 7 | 26 | 22 | 14 | 10 | 2 | 25 | 17 | 13 | 5 | 1 | 20 | 16 | 8 | 4 |
ζ24 | 24 | 21 | 15 | 12 | 6 | 3 | 24 | 21 | 15 | 12 | 6 | 3 | 24 | 21 | 15 | 12 | 6 | 3 |
ζ25 | 25 | 23 | 19 | 17 | 13 | 11 | 7 | 5 | 1 | 26 | 22 | 20 | 16 | 14 | 10 | 8 | 4 | 2 |
ζ26 | 26 | 25 | 23 | 22 | 20 | 19 | 17 | 16 | 14 | 13 | 11 | 10 | 8 | 7 | 5 | 4 | 2 | 1 |
さらに σ1 〜
まずはσ2を繰り返し作用させた表です。
σi | ζk | σi | σi2 | σi3 | σi4 | σi5 | σi6 | σi7 | σi8 | σi9 | σi10 | σi11 | σi12 | σi13 | σi14 | σi15 | σi16 | σi17 | σi18 |
σ2 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 5 | 10 | 20 | 13 | 26 | 25 | 23 | 19 | 11 | 22 | 17 | 7 | 14 | 1 |
3 | 6 | 12 | 24 | 21 | 15 | 3 | 6 | 12 | 24 | 21 | 15 | 3 | 6 | 12 | 24 | 21 | 15 | 3 |
ζkは初期値です。k=1から始めると、18回で1に戻ります。全体を巡回する群になっています。
3の倍数乗はσとしては出てきませんが、ℚ(ζ)には含まれますので、ζの3の倍数乗も適切に移されなければなりません。6回で3の倍数を巡回してうまく行っています。
σ2 の他に σ5, σ11, σ14, σ20, σ23 が σ2 と同様に全体で巡回し、3の倍数乗の元も6回で巡回してうまく行っています。
σi | ζk | σi | σi2 | σi3 | σi4 | σi5 | σi6 | σi7 | σi8 | σi9 | σi10 | σi11 | σi12 | σi13 | σi14 | σi15 | σi16 | σi17 | σi18 |
σ5 | 1 | 5 | 25 | 17 | 4 | 20 | 19 | 14 | 16 | 26 | 22 | 2 | 10 | 23 | 7 | 8 | 13 | 11 | 1 |
3 | 15 | 21 | 24 | 12 | 6 | 3 | 15 | 21 | 24 | 12 | 6 | 3 | 15 | 21 | 24 | 12 | 6 | 3 | |
σ11 | 1 | 11 | 13 | 8 | 7 | 23 | 10 | 2 | 22 | 26 | 16 | 14 | 19 | 20 | 4 | 17 | 25 | 5 | 1 |
3 | 6 | 12 | 24 | 21 | 15 | 3 | 6 | 12 | 24 | 21 | 15 | 3 | 6 | 12 | 24 | 21 | 15 | 3 | |
σ14 | 1 | 14 | 7 | 17 | 22 | 11 | 19 | 23 | 25 | 26 | 13 | 20 | 10 | 5 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
3 | 15 | 21 | 24 | 12 | 6 | 3 | 15 | 21 | 24 | 12 | 6 | 3 | 15 | 21 | 24 | 12 | 6 | 3 | |
σ20 | 1 | 20 | 22 | 8 | 25 | 14 | 10 | 11 | 4 | 26 | 7 | 5 | 19 | 2 | 13 | 17 | 16 | 23 | 1 |
3 | 6 | 12 | 24 | 21 | 15 | 3 | 6 | 12 | 24 | 21 | 15 | 3 | 6 | 12 | 24 | 21 | 15 | 3 | |
σ23 | 1 | 23 | 16 | 17 | 13 | 2 | 19 | 5 | 7 | 26 | 4 | 11 | 10 | 14 | 25 | 8 | 22 | 20 | 1 |
3 | 15 | 21 | 24 | 12 | 6 | 3 | 15 | 21 | 24 | 12 | 6 | 3 | 15 | 21 | 24 | 12 | 6 | 3 |
K=5と10が変化せず、その他は2回で戻ります。
全体が巡回群にならない場合は、9回、6回、3回、2回のどれかで巡回します。σ4だけ示します。これは9回で巡回します。
σi | ζk | σi | σi2 | σi3 | σi4 | σi5 | σi6 | σi7 | σi8 | σi9 |
σ4 | 1 | 4 | 16 | 10 | 13 | 25 | 19 | 22 | 7 | 1 |
2 | 8 | 5 | 20 | 26 | 23 | 11 | 17 | 14 | 2 | |
3 | 12 | 21 | 3 | 12 | 21 | 3 | 12 | 21 | 3 |
Gal(ℚ(ζ)/ℚ)={σ1,σ2,σ4,σ5 ,…,σ26} です。
Gal(ℚ(ζ)/ℚ)={e,σ,σ2,σ3,…,σ18} (σ=σ4,σ11,σ14,σ20,σ23)とも書けます。
ℚ(ζ)/ℚ は1段ですが、累巡回拡大ということができます。